Спектр колебаний одномерной цепочки

 Определение матрицы А

    Векторная форма системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих продольные колебания одномерной цепочки из N частиц, содержит квадратную трёхдиагональную симметричную матрицу А порядка N, отличные от нуля элементы которой имеют вид:
  а_{0, 0} = 1, а_{0, 1} = – 1;
  а_{п, п – 1}  = – 1, а_п, п  = 2, а_п, п +1  = – 1     (п = 1, …, N – 2);
  а_{N– 1, N – 2}  = – 1, а_{N– 1, N– 1}  = 1.

    Матрица А представляется в виде произведения
                      А = В* В,                                                                          (1)
где В – матрица, у которой отличны от нуля только следующие элементы:
  b _п, п  = 1, b _{п, п + 1}  = – 1     (п = 0, 1, …, N – 2),
а В* – матрица, транспонированная по отношению к В.
   Из представления (1) следует, что матрица А неотрицательно определённая.

   Формулировка спектральной задачи

    Нашей задачей является определение всех N собственных значений λ и собственных векторов х матрицы А. Иначе говоря, нужно найти числа λ и вектора х = {x₀, …, x_n, …, x_{N– 1}} в евклидовом N-мерном пространстве Е_N с отличной от нуля нормой
                                      N– 1          
                          |x| = (Σ x_n²) ^½, 
                                     n = 0
для которых выполняется однородное векторное уравнение 
                         Ах = λ х.                                                                      (2)
    В проекциях на координатные оси уравнение (2) для рассматриваемой матрицы А имеет вид системы из N линейных однородных уравнений:
 (1 – λ) x₀  – x₁ = 0,                                                                               (3)
  – х_{п – 1} + (2 – λ) x_п  – х_п +1  =  0     (п = 1, …, N – 1),                           (4)                 
  – х_{N – 2}  + (1 – λ) x_{N– 1}  = 0.                                                                  (5)

    Согласно известной теореме линейной алгебры ввиду симметричности матрицы А все её собственные значения λ – вещественные числа, а из N нормированных собственных векторов е^(k ) (k = 0, 1, …, N– 1) можно образовать ортонормированный базис в пространстве Е_N .

   Ограничения на возможную величину собственных значений матрицы А

    Из неотрицательной определённости матрицы А следует, что все её собственные значения удовлетворяют условию:
            λ ≥ 0.                                                                                          (6)
    Норма ║А║матрицы А оценивается сверху максимумом по строкам суммы модулей элементов каждой строки. У матрицы А для строк от п = 1 до п = N – 2 сумма модулей элементов строки равна 4. Поэтому собственные числа этой матрицы удовлетворяют условию:
         λ ≤ ║А║ ≤ 4
и, следовательно, с учётом (6),
           0 ≤ λ ≤ 4.                                                                                     (7)

   Определение спектра разностного оператора

    Рассмотрим функцию х(п) целочисленного аргумента п, определённую для значений п = 0, 1, …, N – 1 с помощью равенств
                   х(п) = x_п.
    Заменяя неизвестные величины в системе линейных алгебраических уравнений (3)-(5) значениями этой функции, мы превращаем подсистему (4) в одно разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
                  – х(п – 1) + (2 – λ) x(п) – х(п +1)  =  0,                               (8)
а уравнения (3) и (5) – в краевые условия для этого уравнения
     (1 – λ) x(0)  – x(1) = 0,                                                                     (9)
  – х(N – 2)  + (1 – λ) x(N– 1)  = 0.                                                        (10)

Как показано в [1], общее решение разностного уравнения (8) выражается через корни у₁ и у₂ характеристического уравнения
          у² – (2 – λ) у  + 1 =  0.                                                                  (11)
     Очевидно,
          у₁ = р + (р² – 1)^½,   у₂ = р –  (р² – 1)^½,
где
                 р = 1 – λ/2.
   Из неравенств (7) следует, что
           – 1 ≤ р ≤ 1.

   Таким образом, для дискриминанта D = р² – 1 характеристического уравнения имеются две возможности:

1. D< 0,

т.е.
                       – 1 <  р < 1,
что соответствует
      0 < λ < 4.                                                                                          (12)
   Уравнение (8) имеет в этом случае взаимно сопряжённые комплексные корни с модулем, равным единице, представляющиеся в виде:
          у₁ = е^iφ,   у₂ = е^–iφ,
где
                φ = arccos р,
а параметр λ выражается через φ соотношением
                  λ = 4 sin² φ/2.                                                                      (13)
  Общее решение разностного уравнения (8) выражается при этом формулой:
    x_п  = С₁ cos nφ + С₂ sin пφ,                                                              (14)
где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, определяемые из краевых условий (9) и (10).
  Подстановка выражения (14) в краевые условия с учётом (13) даёт после ряда преобразований следующие уравнения относительно С₁ и С₂:
    sin φ/2 С₁ + cos φ/2 С₂ = 0,                                                              (15)
    sin (N – ½) φ С₁ – cos (N – ½)φ С₂ = 0.                                            (16)
  Условием существования нетривиального решения системы уравнений (15), (16) является равенство нулю её определителя:
   – sin φ/2 cos (N – ½)φ – cos φ/2 sin (N – ½)φ = – sin Nφ = 0.          (17)
  Соотношение (17) выполняется, когда параметр φ принимает значения
    φ_k = kπ/N    k = 0, 1, …, N –1,
что с учётом (10) соответствует значениям параметра λ
    λ_k = 4 sin² kπ/2N    k = 0, 1, …, N –1.                                           (18)
  Мы можем утверждать, что формула (18) определяет собственные значения λ_k только для k > 0, так как λ₀ = 0 не удовлетворяет условию (12).

  Для определения собственных векторов х_k , соответствующих собственным числам λ_k  при k ≥ 1, положим в (15) φ = φ_k . Значения С₁ и С₂ определяются при этом с точностью до произвольного постоянного множителя С и имеют вид:
                    С₁ = С cos φ_k /2,   С₂ = – С sin φ_k /2.
   Таким образом, соответствующая вектору х_k функция целочисленного аргумента x_k (п) представляется формулой
        x_k (п) = С (cos φ_k /2 cos nφ_k  – sin φ_k /2 sin пφ_k ) = С cos (п + ½)φ_k  = С cos (п + ½) kπ /N.
    Для получения нормированного собственного вектора е_k  нужно положить
        С = (2/N) ^½
и, следовательно, представление вектора е_k  (k = 1, 2, …, N –1) в виде функции целочисленного аргумента е_k (п) определяется выражением:

        е_k (п) = (2/N) ^½ соs (n + ½) kπ /N   (п = 0, 1, …, N –1).         (19)

2. D= 0,

                     р² = 1,
что имеет место при λ = 0 и λ = 4.
   В обоих случаях уравнение (11) имеет один кратный корень
                   у = р,
а общее решение разностного уравнения (8) имеет вид:
             x(п)  = С₁ р^п + С₂ п р^п.
    Рассмотрим сначала случай λ = 0. При этом р = 1 и, следовательно,
             x(п)  = С₁ + С₂ п.                                                                       (20)
    Подстановка выражения (20) в краевые условия (9) и (10) приводит к двум одинаковым уравнениям
             С₂ = 0.

    Из этого факта следуют два вывода:

• определитель полученной системы уравнений относительно неизвестных С₁ и С₂ равен нулю и, следовательно, λ₀ = 0 является собственным значением;
• представляющая собственный вектор х₀ функция х₀(п) принимает одно и то же значение С₁ для всех п из области определения.

    Выбирая константу С₁ из условия нормировки, мы получаем выражение для функции е₀(п), представляющей нормированный собственный вектор е₀:

               е₀(п) = N ^{– ½}    (п = 0, 1, …, N –1).                                        (21)

    Таким образом, равенство (18) определяет все N собственных значений матрицы А, а формулы (19) и (21) – функции целочисленного аргумента п, представляющие соответствующие N нормированных собственных векторов.

    Оставшийся случай λ = 4 можно не рассматривать, т.к. он заведомо не даст нового собственного значения.

Литература

1. Самарский А.А.Теория разностных схем.- М.: Наука, 1989.- 616 с.

Дата последнего обновления:  2010-04-13