- Зависящая от времени плотность тока генерирует, кроме пропорционального плотности тока поля Био-Савара, которое убывает с расстоянием dху между точками х и у как dху–2, также токо-ускорительные электрическое поле и поле магнитной индукции, пропорциональные производной по времени от плотности тока и убывающие как dху–1.
На достаточно большом расстоянии от источника токо-ускорительные поля играют основную роль и представляют собой электромагнитное излучение радиоволнового диапазона.
- Движущийся микрозаряд порождает, кроме зависящего только от положения заряда кулоновского поля и пропорционального скорости микрозаряда поля Био-Савара, которые убывают с расстоянием как dху–2, зарядо-ускорительные электрическое поле и поле магнитной индукции, пропорциональные ускорению микрозаряда и убывающие как dху–1.
На достаточно большом расстоянии от источника зарядо-ускорительные поля играют основную роль и представляют собой электромагнитное излучение микрозаряда в диапазонах от инфракрасного до гамма-излучения.
Список основных обозначений
A = A(x, t) – векторный магнитный потенциал;
A(х) – окрестность осреднения для точки х;
а – характерное значение модуля ускорения микрозаряда;
ап(t) – вектор ускорения микрозаряда с номером п;
В = В(x, t) – вектор магнитной индукции;
с = 3 ∙ 108 м/с – скорость света в вакууме;
D – выпуклая пространственная область, в которой поляризация и намагниченность среды не играют существенной роли;
Dj – подобласть области D, в которой вектор плотности тока отличен от нуля;
Dρ – подобласть области D, в которой плотность заряда отлична от нуля;
‹d› – среднее расстояние между ближайшими микрозарядами;
dху = |х – у| – расстояние между точками х и у;
dV – элемент объёма в точке у;
Е = Е(x, t) – вектор напряжённости электрического поля;
j(х, t) – вектор плотности тока;
k = ω с –1 – модуль волнового вектора;
L – характерное расстояние, на котором происходят существенные изменения плотностей зарядов и токов;
т – масса иона;
N(t) – число микрозарядов, находящихся в окрестности осреднения в момент времени t;
qп – величина микрозаряда с номером п;
rа – радиус окрестности осреднения A(х);
s = (х – у)/|х – у|;
t – время;
t´ = t + dху/с;
t^ = t – dху/с;
Vа = 4/3 π rа3 – объём окрестности осреднения;
vп(t) – вектор скорости микрозаряда с номером п;
v – характерное значение модуля скорости микрозаряда;
х – радиус-вектор точки, в которой определяется поле;
у – радиус-вектор источника поля;
α(х, t) = ∂/∂t j(х, t) – вектор плотности токового ускорения;
ε0 = 8,85 •10–12 Кл2 ∙ Н–1 ∙ м – 2 – электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума);
η(х, t) = ∂/∂t ρ(х, t) – скорость изменения плотности заряда;
κ – жёсткость связи между соседними ионами;
λ = 2π с ω–1 = 2π k–1 – длина волны;
μ0 = (ε0 с2) –1 Н ∙ с2 ∙ Кл–2 – магнитная постоянная (магнитная проницаемость вакуума);
ρ(х, t) – плотность заряда;
Ф(x, t) – скалярный потенциал;
ω – круговая частота тока;
□ – оператор Д´Аламбера.
Основные параметры, используемые в системе уравнений Максвелла
Определения плотности заряда и плотности тока
Согласно представлениям классической электродинамики первичными источниками всякого электрического и магнитного поля являются микрозаряды – заряженные элементарные частицы и ионы. Число микрозарядов, участвующих в создании рассматриваемых полей, как правило, столь велико, что проследить за каждым из них принципиально невозможно. Удобный выход из этого затруднения предоставляет установленный с высокой достоверностью принцип суперпозиции, согласно которому электрическое и магнитное поля, создаваемые любым числом микрозарядов, суммируются. Использование этого принципа дало возможность сделать основным объектом изучения средние арифметические значения полей, создаваемых микрозарядами, которые оказались в рассматриваемый момент времени в непосредственной окрестности рассматриваемой точки.
При нахождении среднего значения используется определяемая в каждой точке х пространства окрестность осреднения A(х), в качестве которой удобно использовать шар с радиусом rа, имеющий объём Vа = 4/3 π rа3. Осреднение производится в каждый момент времени t по совокупности N(t) микрозарядов, находящихся в этот момент в A(х). Основные входные параметры системы уравнений Максвелла – плотность заряда ρ(х, t) и вектор плотности тока j(х, t) определяются при этом формулами:
N(t)
ρ(х, t) = Vа–1 Σ qп; (1)
п =1
N(t)
j(х, t) = Vа–1 Σ qп vп (t). (2)
п =1
Чтобы определённые соотношениями (1) и (2) величины ρ и j допускали дифференцирование по времени и интегрирование по пространственным координатам, число N(t) в каждый момент времени должно быть достаточно большим. Это условие удовлетворяется, если величина rа значительно больше среднего расстояния ‹d› между микрозарядами:
rа >> ‹d›. (3)
С другой стороны, радиус окрестности осреднения должен быть значительно меньше характерного расстояния L, на котором происходит физически значимое изменение величины определяемых плотностей:
rа << L. (4)
Одновременное выполнение условий (3) и (4) возможно только тогда, когда
L >> ‹d›. (5)
- Если условие (5) не соблюдается, невозможно корректное определение понятий плотность заряда и плотность тока, а, следовательно, теряет смысл система уравнений Максвелла, в которой эти параметры являются основными входными величинами.
Электрическая и магнитная проницаемости
Для учёта реально существующего, но не описываемого теорией взаимодействия микрозарядов друг с другом и одновременно с внешним полем при дальнейшем построении макроскопической электродинамики приходится ввести не выражающиеся явным образом через параметры микрозарядов феноменологические параметры среды – электрическую проницаемость ε и магнитную проницаемость μ. Первый из этих параметров должен учитывать поляризацию отдельных атомов, молекул или целых кристаллов в рассматриваемой среде приложенным электрическим полем, а второй отражает появление дополнительной намагниченности сред под влиянием приложенного магнитного поля. Другими словами, электрическая и магнитная проницаемости приближённо учитывают изменение под действием приложенного поля взаимного расположения и движения всей совокупности микрозарядов, попавших в окрестность осреднения А(х), а также обратное влияние этих изменений на величину поля.
Величины ε и μ зависят как от вида конкретной среды, так и от существующего в среде электрического и магнитного поля. В настоящее время отсутствуют теоретические модели, позволяющие количественно определить эту зависимость, так что при определении значений ε и μ приходится пользоваться эмпирическими формулами. В конечном счёте исследователь оказывается перед выбором из двух альтернатив:
- использовать возможно более точные эмпирические зависимости, лишившись всякой надежды на получение аналитического решения задачи;
- заменить величины ε и μ некоторыми усреднёнными постоянными значениями и получить точное аналитическое решение задачи, имеющей, возможно, весьма отдалённое отношение к реальной ситуации.
Необходимость выбора между двумя достаточно плохими вариантами отпадает, если ограничиться рассмотрением среды, в которой поляризация и намагниченность не играют существенной роли и можно положить
ε ≈ ε0, (6)
μ ≈ μ0. (7)
В частности, соотношения (6) и (7) дают достаточно хорошее приближение для не очень плотных газов, а также при построении теории микрополей, когда операция осреднения параметров не применяется.
Генерация электромагнитных полей при наличии плотности заряда и плотности тока
Выражения для электрического вектора и вектора магнитной индукции
Как показывается в курсах электродинамики (см., например, Матвеев), вектор магнитной индукции В может быть выражен через векторный магнитный потенциал А
В = rot A, (8)
а для электрического вектора в общем случае векторного магнитного потенциала недостаточно и требуется привлечение скалярного потенциала Ф: E = – grad Ф – ∂A/∂t. (9)
Рассмотрим выпуклую пространственную область D, для всех точек которой и для всех моментов времени, предшествующих рассматриваемому, выполняются условия (5)-(7) и обозначим через Dρ и Dj подобласти области D, такие что в Dρ отлична от нуля плотность заряда (ρ ≠ 0), а в Dj – плотность тока (j ≠ 0).
При использовании калибровочного условия Лоренца, имеющего в рассматриваемом случае вид
div A + с –2 ∂Ф/∂t = 0,
в области D потенциалы А и Ф удовлетворяют уравнениям:
□А = – μ0j, (10) □Ф = – ε0–1 ρ. (11)
Правые части уравнений (10) и (11) определяют локальные источники поля.
Использование метода запаздывающих потенциалов приводит к справедливым во всей области D выражениям для частных решений уравнений (10) и (11), определяющих вклад в суммарное поле локальных источников, находящихся внутри области D:
Ain(x, t) = (4π) – 1μ0 ∫ dху–1 j(у, t^) dV, (12)
Dj
Фin(x, t) = (4πε0) – 1 ∫ dху–1 ρ(у, t^) dV, (13)
Dρ
где
t^ = t^(х, у, t) = t – dху/с.
Соотношения (12), (13) вместе с (8) и (9) дают возможность определить электрическое поле Еin(x, t) и поле магнитной индукции Вin(x, t), генерируемые источниками, находящимися внутри области D.
Выполняя в правых частях (12)-(13) векторное дифференцирование по параметру х под знаком интеграла с учётом зависимости от х величины t^, получаем:
rotх[dху–1 j(у, t^)] = (14)
= dху–2 j(у, t^) × s + с – 1 dху–1 α(у, t^) × s;
gradх[dху–1 ρ(у, t^)] = (15)
= – dху–2 ρ(у, t^) s – с – 1 dху–1 η(у, t^) s.
Из (8)-(9), (12)-(15) а также равенства
∂/∂t [dху–1 j(у, t^)] = dху–1 α(у, t^)
следует, что
Еin(x, t) = ЕС(x, t) + ЕD(x, t) + ЕСА(x, t),
Вin(x, t) = ВBS(x, t) + ВСА(x, t),
где
ЕC (x, t) = (16)
= (4πε0) – 1 ∫ dху–2ρ(у, t^) s dV,
Dρ
ЕD(x, t) = (17)
= (4π сε0) – 1 ∫ dху–1 η(у, t^) s dV,
Dρ
ЕCA(x, t) = (18)
= – (4π) – 1 μ0 ∫ dху–1 α(у, t^) dV,
Dj
ВBS(x, t) = (4π) – 1 μ0 ∫ dху–2 j(у, t^)×s dV, (19)
Dj
ВCA(x, t) = (4π с) – 1 μ0 ∫ dху–1 α(у, t^)×s dV. (20)
Dj
Полная величина электрического поля Е и поля магнитной индукции В, действующих в области D, представляется в виде суммы рассмотренных полей Еin и Вin, порождённых источниками, находящимися внутри области D, и порождённых находящимися вне области D источниками полей Еout и Вout:
Е(x, t) = Еin(x, t) + Еout(x, t),
В(x, t) = Вin(x, t) + Вout(x, t).
- Элемент объёма dV вокруг точки у, в которой в момент времени t плотность заряда ρ(у, t) отлична от нуля, создаст в каждой точке х, весь путь до которой проходит в неполяризующейся и ненамагничивающейся среде, в момент времени t´= t + dху/с кулоновское поле
ЕС = (4πε0) – 1 dV dху–2 ρ(у, t) s.
Если при тех же условиях отлична от нуля производная по времени η(у, t) от плотности заряда, в точке х создаётся также динамическое электрическое поле
ЕD = (4πε0) – 1 dV с –1 dху–1 η(у, t) s.
Динамическое поле становится абсолютно преобладающим над кулоновским на расстояниях dху от источника, удовлетворяющих условию
dху >> с τη,
где τη – характерное время изменения плотности заряда, которое может быть приближённо оценено по формуле
τη ≈ |ρ| / |η|.
- Элемент объёма dV вокруг точки у, в которой в момент времени t вектор плотности тока j(у, t) отличен от нуля, создаст в каждой точке х, весь путь до которой проходит в неполяризующейся и ненамагничивающейся среде, в момент времени t´ поле Био-Савара
ВBS = (4π) – 1 μ0 dV dху–2 j(у, t) × s.
Если при тех же условиях отличен от нуля вектор токового ускорения α(у, t) (производная по времени от вектора плотности тока), в момент времени t´ в точке х создаётся также токо-ускорительное электрическое поле
ЕСА = – (4π) – 1 μ0 dV dху–1 α(у, t)
и токо-ускорительное поле магнитной индукции
ВСА = (4π) – 1 μ0 dV с –1 dху–1 α(у, t) × s.
Как и в случае поля, создаваемого зарядами, токо-ускорительное поле ВСА абсолютно преобладает над полем Био-Савара ВBS на расстояниях dху от источника, удовлетворяющих условию
dху >> с τα,
где τα – характерное время изменения плотности тока, приближённо оцениваемое по формуле
τη ≈ |j| / |α|. (21)
- При выполнении условия (21) пара функций ЕСА и ВСА является асимптотическим решением системы уравнений Максвелла т.е. подстановка этих функций в уравнения Максвелла даёт малую невязку порядка (сτα / dху)2.
Частный случай — поле элемента линейного переменного тока
Условие применимости уравнений Максвелла в металле
При рассмотрении электромагнитного поля в металлах система уравнений Максвелла дополняется законом Ома
j = σ Е, (22)
где проводимость σ – эмпирический параметр, удовлетворяющий условию
σ > 0
и имеющий смысл только тогда, когда определена плотность тока j, т.е. при выполнении условия (5).
Появление дополнительного уравнения даёт возможность не задавать плотность тока j(х, t), а определять её, наряду с электрическим вектором Е(х, t) и вектором магнитной индукции В(х, t).
С использованием (22) и (9) при Ф ≡ 0 из (10) можно получить для неизвестной функции j(х, t) уравнение:
μσ ∂/∂t j = □ j.
Как показывает анализ этого уравнения (см., например, Матвеев), в проводе, запитанном переменным током
I(t) = I0 sin ωt,
ток I распределяется по сечению проводника неравномерно, причём основная его часть сосредоточена в тонком поверхностном слое (скин-слой) (skin effect). Толщина скин-слоя Δ выражается через соответствующую частоте ω длину волны λ = 2πс/ω по формуле:
Δ = (λδ)½,
где имеющая размерность длины величина δ = (π μ с σ) –1 зависит от материала проводника и от его температуры.
Величина Δ в рассматриваемом случае может играть роль фигурирующего в условии (5) характерного расстояния L, на котором происходят существенные изменения плотности тока. Если при этом принять в качестве среднего расстояния ‹d› между ближайшими свободными электронами величину шага кристаллической решётки, т.е. положить
‹d› ≈ 10 – 9 м,
то условие (5) превращается в неравенство
Δ > ≈ Δ*= 10 – 6 м.
- Для переменных токов в металлическом проводнике корректное определение понятий плотность тока, проводимость и скин-слой возможно только при выполнении условия:
λ > ≈ λ*= Δ*2/δ. (23)
Для провода, изготовленного из высокоочищенной и подвергнутой оптимальной термообработке меди, при комнатной температуре
δ = 10 – 11 м, λ* = 10 – 1 м,
а при температуре жидкого гелия
δ = 10 – 14 м, λ* = 100 м.
- Если условие (23) не выполнено, эксперимент обнаруживает отклонения от предсказаний теории, называемые аномальным скин-эффектом.
Для объяснения аномального скин-эффекта обычно производится сравнение толщины скин-слоя с длиной свободного пробега электрона. Между тем, понятие свободный пробег к электрону не применимо, т.к. под действием электромагнитного изучения, генерируемого, в частности, ионами в узлах кристаллической решётки, а также другими свободными электронами кристалла, движение электрона всегда имеет хаотический характер и может быть описано только в вероятностных терминах.
Поля, создаваемые проводником с переменным током
При выполнении условия (23) элемент провода dl создаёт согласно (18)-(20) поля
ВBS = (4π) – 1 μ0 I0 dху–2 sin(ωt – kdху) dl ×s, (24)
ЕСА = – (4π) – 1 μ0 I0 k с dху–1 cos(ωt – kdху) dl, (25)
ВСА = (4π) – 1 μ0 I0 k dху–1 cos(ωt – kdху) dl×s, (26)
где
k = ω с –1 – модуль волнового вектора.
Поле Био-Савара (24) становится пренебрежимо малым по сравнению с токо-ускорительным полем (26) при выполнении условия
dху >> k –1 = λ/2π.
- Каждый элемент линейного проводника, запитанного переменным током, удовлетворяющим условию (23), генерирует токо-ускорительные поля ЕСА и ВСА, относящиеся к радиоволновому диапазону.
Электромагнитное поле, генерируемое микрозарядами
Как нетрудно заметить, выражения (12), (13) для векторного и скалярного потенциалов имеют смысл и в том случае, когда плотности заряда или тока имеют особенности – важно только, чтобы особенность была интегрируемой. Иначе говоря, требование к радиусу окрестности осреднения, выражаемое неравенством (3), в данном случае не является необходимым и можно уменьшить величину rа настолько, что в область A(х) попадает только один микрозаряд.
- При использовании интегральных представлений (12) и (13) векторного и магнитного потенциалов условия (3)-(5) и само наличие плотности заряда и плотности тока не являются необходимыми.
Рассмотрим микрозаряд q, который в момент времени
t^ = t – dху*(t^) с –1 (27)
находился в точке у* = у*(t^) и обладал скоростью v(t^).
Если известен закон движения микрозаряда у* = у*(t), то соотношение (27) даёт неявное определение функции t^ = t^(t).
Чтобы получить выражения для векторного и магнитного потенциалов, создаваемых этим микрозарядом, заменим фигурирующие в (12) и (13) под знаком интеграла величины плотности заряда и тока соответствующими δ-функциями:
ρ(у, t^) = q δ(у*(t^) – у),
ι(у, t^) = q v(t´) δ(у*(t^) – у).
В результате такой замены получаются выражения:
A(x, t) = (4π) – 1μ0 q dху*(t^) –1 v(t^), (28)
Ф(x, t) = (4πε0) – 1 q dху*(t^) –1. (29)
После этого для определения генерируемых отдельным микрозарядом электрического и магнитного поля остаётся воспользоваться формулами (8) и (9).
При определении ротора правой части (28) и градиента правой части (29) получаются аналогичные соотношениям (14) и (15) выражения:
rotх[dху*(t^) –1 v(t´)] = (30)
= dху*(t^) –2 v(t^)× s + с – 1 dху*(t^) –1 а(t´)×s;
gradх[dху*(t^) –1] = (31)
= – dху*(t^) –2 s.
Выражение для частной производной по времени от правой части (28) при этом несколько усложняется из-за зависимости от времени положения источника у*(t´):
∂/∂t [dху*(t^) –1 v(t^)] =
(32)
= [dху*(t^) –2 (v(t^)∙s) v(t^) + dху*(t^) –1 а(t^)] dt^/dt.
Согласно правилу дифференцирования неявной функции
dt^/dt = [1– (v(t^)∙s) с –1]–1 . (33)
Использование (8)-(9) и (28)-(33) приводит к выражениям для полей ВМС и ЕМС, создаваемых микрозарядом:
ЕМС(x, t) = ЕС(x, t) + ЕV(x, t) + ЕА(x, t),
ВМС(x, t) = ВBS(x, t) + ВА(x, t),
где
ЕС(x, t) = (4π) – 1 μ0 q с2 dху*(t^) –2 s ,
ЕV(x, t) =
= (4π) – 1 μ0 q dху*(t^) –2 (v(t^)∙s) v(t´)[1– (v(t^)∙s) с –1]–1,
ЕА(x, t) = – (4π) – 1 μ0 q dху*(t^) –1 а(t^), (34)
ВBS(x, t) = (4π) – 1 μ0 q dху*(t^) –2 v(t^)×s,
ВА(x, t) = (4π) – 1 μ0 q с –1 dху*(t^) –1 а(t^)×s. (35)
В случае нерелятивистских скоростей
| v(t^)| << с.
При выполнении этого условия «скоростное» поле ЕV(x, t) пренебрежимо мало по сравнению с кулоновским полем ЕС(x, t).
Зарядо-ускорительное электрическое поле ЕА(x, t) преобладает над кулоновским на расстояниях от источника, удовлетворяющих условию
dху*(t^) >> с2/а, (36)
а зарядо-ускорительное поле магнитной индукции ВА(x, t) преобладает над полем Био-Савара ВBS(x, t) при более слабом условии
dху*(t^) >> сv /а.
- В нерелятивистском случае микрозаряд q, находящийся в момент времени t в точке у* и движущийся со скоростью v и ускорением а, создаст в точке х в момент t´ электрическое поле Е и поле магнитной индукции В, представляющиеся в виде
Е = ЕС + ЕА,
В = ВBS + ВА,
где
ЕС = (4πε0) – 1q dху*(t´) –2 s = μ0 (4π) – 1q с 2 dху*(t´) –2 s, ЕА = – μ0 (4π) – 1q dху*(t´) –1 а.
ВBS = μ0 (4π) – 1q dху*(t´) –2 v×s,
ВА = μ0 (4π) – 1q с – 1 dху*(t´) –1 а×s,
если на всём пути распространения поля от точки у* к точке х выполнялись условия (6) и (7).
При выполнении условия (36) как электрическое поле, так и поле магнитной индукции, создаваемые микрозарядом, сводятся к зарядо-ускорительным полям ЕА и ВА, убывающим как dху*(t^) –1 при увеличении расстояния от источника.
- При любой длине волны выражения (34), (35) для зарядо-ускорительных полей определяют электромагнитные волны, генерируемые отдельным микрозарядом.
Ионы, входящие в состав молекул или кристаллов, совершают колебания на частотах, соответствующих спектру собственных колебаний. Собственные частоты ограничены сверху величиной, пропорциональной (κ/т)½, где κ – жёсткость связи между соседними ионами; т – масса иона. Граница снизу для спектра колебаний ионов определяется тем, что длина волны колебаний не может превосходить размеры кристалла (обычно ≈ 1 мкм).
Свободные электроны в ионизированном газе, как следует из результатов раздела Стохастические характеристики движения заряженной частицы в поле электромагнитной радиации, совершают хаотическое движение со значительно большими, чем тяжёлые ионы, средними скоростями и частотами, включающими рентгеновскую часть спектра.
Наконец, самая коротковолновая часть спектра – гамма-излучение – определяется колебаниями заряженных нуклонов в процессе ядерных реакций, собственные частоты которых выше рентгеновских благодаря высокой жёсткости внутриядерных связей.
- Электромагнитное излучение в диапазонах от инфракрасного до ультрафиолетового включительно представляет собой зарядо-ускорительное поле, порождённое колебаниями ионов, входящих в состав молекул или кристаллов, рентгеновское излучение – хаотическим движением свободных электронов, а гамма-излучение – движением заряженных нуклонов в процессе ядерных реакций.
Дата последнего обновления: 2011-04-25