Спектр продольных колебаний одномерной цепочки
Продольные колебания в одномерной цепочке, состоящей из N частиц, представляют собой cуперпозицию N взаимно независимых собственных колебаний. Пространственная форма каждого из собственных колебаний – нормальная мода – определяется одним из собственных векторов матрицы системы еk (k = 0, 1, …, N–1), а изменение во времени – соответствующим собственным числом λk.
Нормальная мода рассматривается как функция номера n частицы в цепочке, т.е. является функцией целочисленного аргумента, принимающего значения из множества
I = {0, 1, …, N–1}.
Наименьшее из собственных значений
λ0 = 0,
а отвечающая ему нормальная мода е0(п), представляющая нормированный собственный вектор е0, является константой:
е0(п) = N – ½, (1)
т.е. k = 0 отвечает движению «отвердевшей» цепочки как единого целого.
Остальные N–1 собственных колебаний цепочки, соответствующие k = 1, …, N–1, представляют собой стоячие волны, моды которых могут быть представлены в двух тождественно эквивалентных формах:
еk (п) = (2/N) ½ соs [(n + ½) kπ/N] (2)
= (2/N) ½ а(n) sj(n), (3)
где
а(n) = соs (nπ) = (– 1)п,
sj(n) = sin [(n + ½) jπ /N],
а число j связано с k соотношением:
k + j = N. (4)
Соответствующие этим модам собственные круговые частоты ωk пропорциональны корню квадратному из собственного значения λk :
ωk = (αλk /т)½ = 2 ω* sin (kπ /2N) = (5)
= 2 ω* соs (jπ /2N), (6)
где ω* = (α /т)½.
Как по характеру зависимости собственных частот значений ωk от номера k, так и по форме нормальных мод еk (п), весь спектр делится на две качественно различные зоны. Первую половину значений номера k, для которой выполняется условие
1 ≤ k ≤ N/2, (7)
мы будем называть акустической зоной спектра, а вторую, для которой
1 ≤ j ≤ N/2, (8)
– тепловой зоной.
Если N – чётное число, то пограничное значение
k = j = N/2
относится одновременно к обеим зонам.
Форма нормальной моды
Оба представления (2) и (3) функции еk (п) позволяют расширить её определение c дискретного множества I на всю числовую ось. Из представления (2) следует, что при таком расширении функция еk (п) является гармоникой с длиной полупериода
lk = N/k.
С другой стороны, из представления (3) вытекает, что при том же расширении области определения функция еk (п) может рассматриваться как произведение двух периодических функций или, иначе, двух псевдоволн: миниволны а(n) с полупериодом 1 и максиволны s(n), для которой длина полупериода определяется выражением
lj = N/j.
Как следует из (7) и (8), в акустической зоне длины полупериодов lk и lj удовлетворяют условиям:
lk ≥ 2, lj ≤ 2, (9)
а в тепловой зоне
lk ≤ 2, lj ≥ 2. (10)
Неравенства (9) означают, что в акустической зоне при аргументе, принимающем значения из множества I, периодичность, определяемая представлением (3), не может проявиться, так что реальную форму нормальных мод в этой зоне определяет представление (2).
Промежутки между узлами, на которых происходит смена знака еk (п), соответствуют корням функции соs [(n + ½) kπ/N] и, значит, число смен знака равно числу полупериодов k. Согласно (7) это означает, что в акустической зоне число смен знака функции еk (п) не превосходит половины числа узлов.
В тепловой зоне, как следует из (10), лучшее представлние о форме нормальной моды даёт представление (3). При этом миниволна, определяемая функцией а(n), имеет в любых двух соседних точках п и п+1 противоположные знаки и обладает кратчайшим возможным на целочисленной сетке периодом, равным 2. Для максиволны, определяемой функцией sj(n), число перемен знака равно j. Таким образом, в тепловой зоне смена знаков происходит между всеми соседними точками, кроме тех, для которых меняется знак sj(n), т.е. число перемен знака не менее половины числа узлов.
Собственные частоты
Акустическая зона
В силу неравенства (9) для аргумента q синуса в формуле (5) выполняется неравенство
q = kπ/2N ≤ π/4 < 1.
Это означает, что вблизи акустического края спектра, т.е. при k << N, для зависимости собственной круговой частоты от номера может быть использовно представление
ωk = 2 ω* q [1+ О(q2)] = ω* kπ /N [1+ О(q2)]. (11)
Тепловая зона
Согласно (10) в тепловой зоне оказывается малым параметр r, пропорциональный j:
r = jπ/2N ≤ π/4 < 1.
Поэтому вблизи теплового края спектра (при j << N ) для собственной круговой частоты работает представление
ωk = 2 ω* [1 – ½ r2 + О(r4)]. (12)
Примеры графиков пространственных мод
Акустическая зона
В тех случаях, когда величина lk является целым числом, нормальная мода является точной гармоникой и для дискретного аргумента. На Фиг.1 и Фиг. 2 приведены примеры графиков нормальных мод для таких случаев.
Все приведенные ниже графики получены с помощью системы MATLAB, причём расчёт компонент нормированных собственных векторов матрицы системы производился не по формулам (2), (3), а с использованием встроенного в MATLAB универсального численного метода.
Фиг. 1. N = 64, k = 8, j = 56, lk = 8, lj = 8/7.
Фиг. 2. N = 64, k = j = 32, lk = lj = 2.
Если число lk – не целое, гармоника несколько искажается, причём искажение тем больше, чем меньше величина lk или, что то же самое, чем больше k.
Фиг. 3. N = 64, k = 3, j = 61, lk = 64/3, lj = 64/61 .
Фиг. 4. N = 64, k = 28, j = 36, lk = 16/7, lj = 16/9.
Тепловая зона
В этой зоне реальную форму нормальных мод выявляет представление (3). Чёткая периодичность максиволны видна в тех случаях, когда величина lj – чётное целое число (см. Фиг. 5, Фиг. 6, и Фиг.2).
Фиг. 5. N = 64, k = 62, j = 2, lk = 32/31, lj = 32.
Фиг. 6. N = 64, k = 48, j = 16, lk = 4/3, lj = 4.
Если число lj > 2, но не является целым чётным, описываемая формулой (3) закономерность проявляется тем ярче, чем больше lj или, иначе, чем меньше j (см. Фиг. 7 и Фиг. 8).
Фиг. 7. N = 64, k = 61, j = 3, lk = 64/61, lj = 64/3.
Фиг. 8. N = 64, k = 36, j = 28, lk = 16/9, lj = 16/7.
Дата последнего обновления: 2008-11-14