Постановка задачи
Нашей целью является промоделировать движение относительно своего центра масс таких в основном газовых образований как звёзды и дальние планеты солнечной системы (Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун). Последние имеют, кроме основной наружной газовой части, ещё и внутренюю каменную сердцевину.
Предполагается, что рассматриваемое небесное тело занимает выпуклую пространственную область D, представляющую собой тело вращения и ограниченную осесимметричной поверхностью S. Предполагается также, что вне поверхности S находится вакуум, т.е плотность ρ и все компонетны тезора напряжений T пренебрежимо малы по сравнению с максимальными значениями тех же величин внутри области D.
Последнее предположение даёт возможность пренебречь работой, совершаемой поверхностными силами на поверхности S, а уравнение баланса механической энергии в интегральной форме имеет вид . Continuum mechanics for engineers / George E. Mase, G. Thomas Mase. Boca Raton : CRC Press, 1992:
dK/dt = B – I, (1)
где
K = ½ ∫ ρv2 dV – полная кинетическая энергия,
B = ∫ ρ(g·v)dV – мощность массовых сил,
I = ∫ (T·D)dV – мощность поверхностных сил (напряжений), действующих внутри тела,
интегрирование производится по всей области D, причём t – время, v – вектор скорости, g – гравитационное ускорение, D – тензор скоростей деформаций.
Дополнительные предположения:
- Преобладающим видом движения среды является вращение вокруг оси поверхностиS, т.е в цилиндрической системе координат (r,φ, z), ось которой совпадает с осью поверхности S, из всех компонент скорости можно считать отличной от нуля только азимутальную компоненту vφ, причём эта скорость, как и плотность ρ, не зависят от координаты φ.
- Гравитационное ускорениеgопределяется только распределением масс внутри области D.
Теорема о монотонном убывании полной кинетической энергии
Как следует из предположения 1, из всех компонент тензора скоростей деформаций отличными от нуля оказываются только следующие:
Drφ = Dφr = ½ r ∂/∂r (vφ/ r),
Dzφ = Dφz = ½ ∂vφ/∂z,
т.е. тензор скоростей деформаций в рассматриваемом случае имеет только девиаторную часть и не имеет шаровой. Таким образом, в свёртке тензоров (T·D) участует только девиаторная (диссипативная) часть тензора напряжений, величина I является положительно определённой
I ≥ 0 (2)
и представляет собой мощность диссипации энергии внутри тела.
Из предположений 1 и 2 следует, что центр масс системы находится на оси вращения, т.е. для азимутальной составляющей gφ вектора гравитационного ускорения выполнено условие
gφ = 0. (3)
Учитывая соотношение (3) и предположение 1, мы приходим к выводу, что мощность массовых сил равна нулю:
B = 0. (4).
Из соотношений (1), (2) и (4) вытекает, что вследствие диссипации энергии полная кинетическая энергия K со временем только убывает.
Теорема о монотонном возрастании радиуса инерции небесного тела
Пусть f, g – функции точки, заданные на области D. Определим скалярное произведение таких функций как интеграл по области D
(f, g) = ∫ ρ f g dV.
Модуль вектора углового момента (момента количества движения) М представляется тогда как скалярное произведение функций r и vφ:
М = ∫ ρ r vφ dV = (r , vφ). (5)
Из неравенства Коши-Буняковского-Шварца следует, что
М 2 = (r , vφ) 2 ≤ (r , r ) (vφ, vφ) = 2Jz K= 2т rz2 K, (6)
где
Jz = ∫ ρ r 2dV – момент инерции системы относительно оси вращения,
т = ∫ ρ dV – полная масса системы,
rz = (Jz / т )½ – радиус инерции системы относительно оси вращения, который можно рассматривать как меру «размытости» системы.
Из (6), в свою очередь, следует, что
rz ≥ М / (2т K ) ½ . (7)
Учитывая, что кинетическая энергия K со временем может только убывать, мы приходим, таким образом, к выводу, что
- для поддерживаемых собственной гравитацией вращающихся систем, для которых выполняется условие постоянства массы т и углового момента М, радиус инерции может только возрастать, т.е. такие системы могут со временем только расплываться.
Дата последнего изменения: 2008-02-27