Локальная система координат и некоторые геометрические соотношения 

    Во всём дальнейшем тексте используется принятая в тензорном исчислении индексная система обозначений.
    Пусть
  S  – гладкая поверхность,
  x0 – произвольная точка на этой поверхности,
  n – единичный вектор нормали к S  в точке x0,
  λ – средняя длина свободного пробега,
    Рассмотрим декартову систему координат (O, x1, x2, x3) с центром O, совпадающим с точкой x0 и осью Ox3, направленной вдоль вектора n, а также сферическую систему координат (O, r, φ, θ), полярная ось которой совпадает с осью Ox3, а начало отсчёта азимута φ с осью Ox1. 
    Единичный вектор s, определяющий направление, противоположное направлению радиуса вектора рассматриваемой точки, имеет в декартовой системе компоненты
         s1 = – cos φ sin θ,
         s 2 = – sin φ sin θ,                                                                                                                         (1)                                             
         s 3 = – cos θ.
а точка x’ = x0 – λs  координаты
         x1 = λ cos φ sin θ = – λ s1,
         x2 = λ sin φ sin θ = – λ s2,                                                                                                                                    
         x3 = λ cos θ = – λ s3.

              Лемма

    Пусть f(x) – функция точки, дифференцируемая при х = х0, и число λ настолько мало, что замена приращения функции
                f(x0 – λs) – f(x0)
первым дифференциалом, т.е. использование представления  
   f(x0 – λs) = f(x0) + xi f, i (x0) = f(x0) – λ si f, i(x0),                                                     (2)
даёт приемлемую точность для всех возможных направлений вектора si.
     Тогда справедливы следующие приближённые формулы
 А. (4π)–1∫ f(x0 – λs) dΩ = f(x0),                                                            
               Ω          

В. (4π)–1∫ f(x0 – λs) si dΩ = – λ/3 f, i(x0),                                                                                       
              Ω                            

С. (4π)–1 ∫ f(x0 – λs) si s3 dΩ = 1/3 f(x0) δi3.                                                                                        
               Ω                            

где
                       2π      π/2
   ∫ F(s) dΩ = ∫ dφ ∫ F(s) sinθ dθ,  
  Ω                    0       – π/2                              
   δij – символ Кронекера.

     Доказательство

     Рассматриваются три типа интегралов от функции b(s) = f(x0 – λs), взятых по полному телесному углу Ω:
        Q = (4π)–1 ∫ b(s) dΩ,                                                                                                                    (3)
                         Ω

        R i = (4π)–1 ∫ b(s) si dΩ,                                                                                                                (4)
                          Ω

        S i = (4π)–1 ∫ b(s) si s3 dΩ,                                                                                                             (5)
                          Ω

    Подстановка выражения (2) в интегралы (3)-(5) даёт:
      Q = А f(x0) – λ Bi f, i(x0),                                                                                                                (6)
      R i = Bi f(x0) – λ Cij f, j(x0),                                                                                                             (7)
      S i = Ci3 f(x0) – λ Dij f, j(x0),                                                                                                           (8)

 где
      A = (4π)–1 ∫ dΩ,
                       Ω
      Bi = (4π)–1 ∫ si dΩ.
                        Ω
      Cij = (4π)–1 ∫ si sj dΩ.
                         Ω
      Dij = (4π)–1 ∫ si sj s3 dΩ.
                         Ω

    Учитывая выражения (1) для вектора si и произведя интегрирование, имеем
      A = 1,
      Bi = 0   ( i = 1, 2, 3),
      Cij = 1/3 δij,
      Dij = 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).
    Использование полученных значений коэффициентов A, Bi, Cij и Dij в равенствах (6)-(8) доказывает Лемму.

Дата последних изменений: 2009- 02-23