D – рассматриваемая пространственная область
Обозначения некоторых операций
δij – символ Кронекера;
‹а› – среднее значение величины а.
F`(х, t) = ∂F /∂t – частная производная по времени от функции F .
F(х, t)^ = F` + vi F, i – материальная производная по времени от функции F (частная производная по времени в системе мгновенного локального покоя).
Основные константы и функции, характеризующие состояние газа
Физическая константа.
k = 1.38 ∙ 10–23 Дж/К – постоянная Больцмана.
Характеристики внешних макрополей
gi – вектор ускорения гравитационного макрополя, м∙с–2.
Первичные свойства частиц данного газа
т – масса частицы, кг;
Константы, выражаемые через первичные свойства частиц газа
R = k/m – газовая постоянная, Дж/(кг∙К);
α = (8R /π)½ – постоянный для данного газа коэффициент, м/(с∙К½) (см. Таблицу 1);
β = 0.385 т1/3 ρс2/3 – постоянный для данного газа коэффициент, кг/м2 (см. Таблицу 1);
γ = α β/3 – постоянный для данного газа коэффициент перноса, Па∙с / К½ (см. Таблицу 1);
Независимые переменные, соответствующие лабораторной системе отсчёта
t – время, с;
х – радиус-вектор точки пространства, м;
Первичные функции состояния
I(x, t) – удельная внутримолекулярная энергия, Дж/кг;
п(х, t) – числовая плотность газа, м–3;
Т(х, t) – температура, К;
v(х, t) – вектор скорости течения, м∙с –1.
В силу представления о газе как о сплошной среде, все первичные функции состояния определяются не для систем фиксированных частиц, а для фиксированных пространственных областей, рассматриваемых вместе со всеми частицами, находящимися в них в данный момент времени, с помощью операции пространственного осреднения. В частности, скорость течения v определяется как осреднённая величина вектора w скорости частицы в лабораторной системе отсчёта:
v = ‹w›,
тепловая скорость ω как отклонение величины w от среднего:
ω = w – v,
а температура Т связана со средним квадратом модуля тепловой скорости ‹ω2› соотношением:
‹ω2› = 3 RТ.
При наличии ЛТР абсолютные величины ω векторов ω тепловых скоростей принимают случайные значения в соответствии с распределением Максвелла, а направления векторов ω равномерно распределены по полному телесному углу 4π.
Функции состояния, выражающиеся через первичные
р(х, t) = n k T = ρ R T – давление, Па;
U(х, t) = 3/2 RT + I – удельная внутренняя энергия, Дж/кг;
U*(х, t) = 2 RT + I = U + ½ R T – транспортная удельная внутренняя энергия, Дж/кг;
W(х, t) = ½ vj vj – удельная энергия течения, Дж/кг;
η(х, t) = λ П = β T ½ – вязкость, Па∙с;
П(х, t) = ρ‹ω› = α ρ T ½ – диффузионный потенциал, кг/(м2∙с);
ρ(х, t) = т п – массовая плотность, кг/м3;
υ(х, t) = ρ –1 – удельный объём, м3/кг;
Основные газотермодинамические функции
Определённые в разделе Газ как сплошная среда функции ρ(х, t) и Т(х, t) инвариантны относительно выбора лабораторной системы отсчёта и соответствуют функциям термодинамического состояния. В то же время скорость течения v(х, t) существенно зависит от выбора системы отсчёта и поэтому не является функцией состояния.
Совокупность функций ρ(х, t), Т(х, t) и v(х, t) полностью характеризует как термодинамическое состояние, так и течение газовой среды.
Скалярные функции ρ(х, t), Т(х, t) и векторная функция v(х, t) будут называться в дальнейшем основными газо-термодинамическими функциями, а определение значений этих функций – основной задачей газо-термодинамики. Таким образом, полная система уравнений для решения основной задачи должна включать в себя два скалярных и одно векторное уравнение. В соответствии с основной концепцией сплошной среды в качестве таких уравнений в газо-термодинамике используются скалярные уравнения баланса массы и энергии в единице объёма и векторное уравнение баланса импульса в единице объёма.
Общий вид балансных уравнений
С использованием теоремы Гаусса-Остроградского нетрудно показать, что дифференциальное уравнение баланса в единице объёма таких величин, как масса газа, импульс или энергия имеет вид:
(Частная производная по времени от объёмой плотности) + (Дивергенция вектора плотности потока) =
= (Объёмная плотность источников или стоков). (1)
Уравнение баланса массы
Объёмная плотность массы: ρ.
Вектор плотности потока массы состоит из двух слагаемых:
Мi = М Si + М Ti.
где
М Si = ρvi
– плотность потока массы, переносимого течением,
М Ti = – 1/3 λ П, i.
– плотность потока самодиффузии, вызванного тепловым движением.
Объёмная плотность источников: 0.
Дифференциальное уравнение баланса массы в единице объёма:
ρ` + Мi, i =
= ρ` + (ρvi), i – 1/3 (λ П, i), i = 0. (2)
Уравнение баланса импульса
Объёмная плотность импульса: ρvi;
Тензор плотности потока импульса:
Pi j = ρ vi vj – 1/3 λ [(Пvi), j + (Пvj), i] + р δij.
Объёмная плотность источников импульса: ρgi.
Дифференциальное уравнение баланса импульса в единице объёма:
(ρvi) ` + (ρ vi vj), j + р, i = (3)
= 1/3{λ [(Пvi), j + (Пvj), i] }, j + ρgi.
Уравнение баланса энергии
Объёмная плотность энергии: ρ(W + U),
Вектор плотности потока энергии:
Qi = ρ(W + U) vi + рvi – 1/3 λ [П(W +U + ½ R T)], i – 1/3 λ (Пvj vi ), j.
Объёмная плотность источников: ρ gi vi,
Дифференциальное уравнение баланса энергии в единице объёма:
[ρ(W + U)]` + [ρ(W + U) vi], i + (рvi), i = 1/3{λ[П(W +U + ½ R T)], i}, i + 1/3 [λ(Пvj vi ), j], i + ρ gi vi. (6)
Система уравнений в материальных производных
Пусть F = F(х, t) – дифференцируемая функция точки и времени. Используя легко доказываемое тождество
(ρF)` + (ρvjF), j – 1/3[λ(ПF), j] , j = [ρ` + (ρvj), j – 1/3 (λ П, j) , j] F + ρ F^ – 1/3 λ П, j F, j – (η F, j) , j,
и учитывая уравнение (4), мы получаем
(ρF)` + (ρvjF), j – 1/3[λ (ПF), j] , j = ρ ^F – 1/3 λ П, j F, j – (η F, j) , j. (7)
С помощью равенства (7) можно с помощью простых преобразований получить из уравнений (4)-(6) систему балансных уравнений в терминах материальных производных:
— уравнение баланса массы
ρ^ + ρv j, j = 1/3 (λ П, j), j ; (8)
— уравнение баланса импульса
ρ vi^ – 1/3 λ П, j vi, j + р, i = (ηvi, j), j + 1/3 [λ (Пvj), i], j + ρgi ; (9)
— уравнение баланса полной энергии
ρ ( W + U)^ – 1/3 λ П, j (W, j + U, j) + (рvi), i = (10)
= [η(vi vi, j + U, j)] , j + 1/6 R [λ(ПТ), i)], i + 1/3 [λ (П v i v j ), j], i + ρ g i v i.
Умножая векторное уравнение (9) скалярно на вектор скорости течения vi, получаем
— уравнение баланса энергии течения
ρ W ^ – 1/3 λ П, j W, j + р, i vi = vi (ηvi, j), j + 1/3 vi [λ(Пvj), i], j + ρgi vi . (11)
Уравнение теплового баланса получается при вычитании (11) из (10):
ρU ^ – 1/3 λ П, j U, j + рvi, i = (12)
= (ηU, j) , j + 1/6 R [λ(ПТ), i)], i + ηvi, j vi, j + 1/3 [λ (П v i v j ), j], i – 1/3 vi [λ(Пvj), i], j.
Дата последнего обновления: 2012-12-13