Средняя длина свободного пробега и среднее расстояние между молекулами

Формула для средней длины свободного пробега

    В одной из первых работ по кинетической теории газов Максвеллом была получена формула для средней длины λ свободного пробега:
       λ = (2^½ пσ) ^{– 1},                                                                                        (1)
где
       п – числовая плотность (число молекул газа в единице объёма),
       σ – эффективное сечение соударения (ЭСС) молекул.
Как показывает анализ процесса столкновения молекул, ЭСС является функцией от температуры газа Т и представляется формулой
              σ(Т) = π r_imp² = π d_eq² (1 + Т */Т),                                               (2)
где
d_eq – равновесное расстояние между молекулами;
Т* = 2/3 Е_т/ k – глубина потенциальной ямы, выраженная в температурных единицах;
Е_т – глубина потенциальной ямы потенциала взаимодействия между молекулами, выраженная в единицах энергии;
 k – постоянная Больцмана.
Если обозначить через
       l_e = 2^¼ π^½ d_eq                                                                                           (3)
эффективный линейный размер молекулы, то с учётом (2) формула (1) представляется в виде
       λ = l_e^{– 2} п ^{– 1} Θ,                                                                                        (4)
где
       Θ = Т / (Т + Т *).
Выражая числовую плотность п через удельный объём газа υ и массу молекулы т
        п = (т υ)^–1,                                                                                              (5)
можно формулу (4) преобразовать к виду, в котором она будет использована в дальнейшем:
       λ = β υ Θ,
где
β = т l_e^{– 2} = 2^{– ½} π^–1 т d_eq^{– 2} – постоянный для данного газа коэффициент.

  Зависимость средней длины свободного пробега от температуры

    Величина Θ принимает значения, удовлетворяющие условиям:
              0 < Θ < 1,
причём при Т >> Т *
              Θ ≈ 1,
а при Т << Т *
              Θ ≈  Т / Т *.                                                                              (6)
Из соотношения (6) отнюдь не следует, что длина свободного пробега λ стремится к нулю при Т → 0, т.к. удельный объём газа должен удовлетворять условию
              υ ≥ υ_s(T),
где υ_s(T) – удельный объём насыщенного пара при температуре Т , причём
              υ_s(T) → ∞ при Т → 0.

   Отношение среднего расстояния между молекулами газа к средней длине свободного пробега        

    Среднее расстояние d между центрами молекул выражается через числовую плотность п с помощью равенства
       d = п^{– 1/3}.                                                                                                (7)
Исключив из (5) и (7) числовую плотность, получаем связь между параметрами λ и d
       λ / l_e = (d / l_e)³ Θ.                                                                                    (8)
Из (5) и (7)-(8) следует, что
       d/λ = (l_e/d)²/Θ = W,
где
       W ≡ т^1/3 ρ^2/3/(βΘ).

Таблица 1. Оценочные значения параметров d_eq и β для некоторых газов

Вещество                                                                                         О₂                    N₂                   ⁴He                Н₂

Масса молекулы т, кг                                                              5.35∙10^–26          4.68∙10^–26      6.69∙10^–27      3.35∙10^–27
Критическая плотность ρ_с, кг/м³                                                436                   313                 69.64             30
Равновесное расстояние между молекулами d_eq, м          3.8∙10^–10            4.06∙10^–10       3.5∙10^–10       3.68∙10^–10
Коэффициент β, кг/м²                                                                 8.3∙10^–8             6.4∙10^–8          1.22∙10^–8      0.56∙10^–8

 Таблица 2 (составлена на основании данных о Стандартной атмосфере).

    Зависимость средней длины свободного пробега и среднего расстояния между молекулами воздуха для земной атмосферы

Высота над уровнем моря h, км	0	100	200	300
Числовая плотность п, м–3	2.55·1025	1.8·1019	5·1015	3·1014
Длина свободного пробега λ, м	1·10– 7	1·10–1	300	3·103
Среднее расстояние между молекулами d, м	3·10–9	4·10–7	6·10–6	1·10–5
Отношение λ / d, безразмерн.	30	2.5·105	5·107	3·108

   На высоте h ≈ 250-500 км над уровнем моря начинается самый верхний слой атмосферы – экзосфера, в котором длина свободного пробега столь велика, что столкновениями между молекулами можно пренебречь. Движение молекул в экзосфере полностью определяется дальнодействующими силами, порождаемыми макрополями.

Дата последнего обновления:  2009-05-30