Частицы газа
По определению газ представляет собой систему частиц, каждая из которых взаимодействует с другими в течение времени, пренебрежимо малого по сравнению с тем, когда такое взаимодействие отсутствует и частица совершает свободый пробег.. При этом частица газа может представлять собой как отдельный атом, так и молекулу – устойчивую группу атомов, связанных между собой химическими взаимодействиями.
Усреднение по объёму
Основой газо-термодинамики – науки о течениях и тепловых процессах в газе – является представление о газе как о сплошной среде. Это означает, что физические параметры определяются не для систем фиксированных частиц, а для фиксированных пространственных областей, рассматриваемых вместе со всеми частицами, находящимися в них в данный момент времени. Такой подход реализуется с помощью осреднения параметров составляющих газ частиц по некоторым областям осреднения (ОО) A. Будем считать, что для каждой точки пространства ОО представляет собой шар радиуса rа с центром в этой точке.
Рассмотрим произвольную инерциальную систему отсчёта, которую мы будем называть лабораторной системой, и связанную с ней декартову систему координат Ох1, х2, х3,. Пусть вокруг некоторой точки, имеющей радиус-вектор х = (х1, х2, х3), выделена ОО А(х). Если в данный момент времени t в ОО А(х) находится N(t) частиц, обладающих одной и той же массой m, то плотность числа частиц n и массовая плотность ρ определяются как функции точки и времени следующими формулами:
n(х, t) = N(t)/Vа,
ρ(х, t) = m n(х, t),
Vа = 4/3 π rа3.
Обозначим через wμ(t) скорость μ—ой частицы в момент времени t. Тогда скорость течения v как функция точки и времени определяется с помощью осреднения скоростей wμ(t) частиц, находящихся в данный момент времени в ОО А(х):
N(t)
v(х, t) = N(t)–1 Σ wμ(t). (1)
μ=1
Тепловое движение и тепловые скорости
Для любой точки х и связанной с ней ОО А(х) скорости w(t) движения частиц, находящихся в момент времени t в А(х) можно представить в виде суммы:
w(t) = v(х, t) + ω(t). (2)
При этом величины
ω(t) = w(t) – v(х, t), (3)
которые мы будем называть тепловыми скоростями, в силу самого своего определения зависят не только от времени t, но и от точки х.
В самом деле, пусть имеются две точки х1 и х2, такие, что их ОО пересекаются и
v(х1, t) ≠ v(х2, t).
В этом случае частица, пролетающая в текущий момент времени через пересечение А(х1) и А(х2) со скоростью w(t) в лабораторной системе, имеет с точки зрения х1 тепловую скорость
ω1(t) = w(t) – v(х1, t),
а с точки зрения х2 тепловую скорость
ω2(t) = w(t) – v(х2, t),
причём
ω1(t) ≠ ω2(t).
Таким образом,
ω = ω (х, t).
С другой стороны, для фиксированной точки х переход от одной инерционной системы отсчёта к другой, движущейся относительно первой со скоростью v*, меняет на величину v* скорости w(t) всех частиц, находящихся в данный момент времени в ОО А(х), и скорость течения v(х, t), тогда как тепловые скорости остаются неизменными.
- Тепловые скорости ω(х, t) инвариантны относительно выбора системы отсчёта.
Рассмотрим произвольные точку х0 и момент времени t0. Системой мгновенного локального покоя (СМЛП) мы называем инерциальную систему отсчёта, движущуюся относительно лабораторной с постоянной скоростью v(х0, t0) и имевшую начало в точке х0 в момент времени t0. СМЛП характеризуется тем, что в ней при х = х0 и t = t0 скорость течения равна нулю. Можно сказать, что тепловая скорость частицы – это скорость в СМЛП.
Представление энергии движения частицы
Если частица представляет собой молекулу, то движение атомов в ней может быть представлено в виде суперпозиции движения центра масс молекулы со скоростью w(t) и внутримолекулярного движения в системе отсчёта, связанной с центром масс. Во время свободного пробега молекулы энергия внутримолекулярного движения Е int, вообще говоря, меняется под действием внешнего электромагнитного поля, а кинетическая энергия Е kin поступательного движения молекулы как целого со скоростью w – под действием гравитационного поля. При столкновениях молекул происходит обмен энергиями как между молекулами, так и между составляющими Е int и Е kin.
Обозначим через Е tr(х, t) усреднённую по области А(х) среднюю трансляционную энергию – кинетическую энергию теплового движения молекулы как целого:
N(t)
Е tr(х, t) = ½ т N(t)–1 Σ ωμ2.
μ = 1
- Для любых фиксированных точки х0 и момента времени t0 в СМЛП средняя кинетическая энергия частиц в ОО А(х0) меньше, чем в других инерциальных системах, и равна Еth(х0, t0).
Действительно, из равенства (2) следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения ‹Е kin› удовлетворяет соотношению
N(t) N(t)
‹Е kin› = m Σ (wμ· wμ) / 2N = m Σ [(v · v) + 2(v · ωμ) + (ωμ· ωμ)]/ 2N.
μ = 1 μ= 1
Как видно из (1) и (3),
N(t)
Σ (v · ωμ) = 0.
μ = 1
Таким образом, если обозначить через Е str = mv2/2 кинетическую энергию, связанную с течением, то в любой инерционной системе, для которой скорость течения v отлична от нуля,
‹Е kin› = Е str + Е tr > Е tr,
что и требовалось доказать.
Основные газо-термодинамические функции
Температура газа Т(х, t) и удельная внутримолекулярная энергия I(х, t) определяются формулами:
Т(х, t) = 2/(3k) Е tr(х, t),
I(х, t) = ‹Е int›/т,
где k = 1.38 ∙ 10–23 Дж/К – постоянная Больцмана.
Совокупность скалярных функций ρ(х, t), Т(х, t), I(х, t) и векторной функции v(х, t) полностью характеризует как термодинамическое состояние, так и течение газовой среды. Эти функции будут называться в дальнейшем основными газо-термодинамическими функциями, а определение их значений – основной задачей газо-термодинамики. Таким образом, полная система уравнений для решения основной задачи должна включать в себя три скалярных и одно векторное уравнение. В качестве таких уравнений в газо-термодинамике используются скалярные уравнения баланса массы и энергии в единице объёма, векторное уравнение баланса импульса в единице объёма, а также скалярное уравнение состояния, связывающее функции Т(х, t) и I(х, t), которое может быть получено из рассмотрения процессов взаимодействия внутримолекулярного движения с внешним электромагнитным полем и столкновения молекул.
Заметим, что скорость течения v(х, t) в отличие от остальных основных функций не инвариантна относительно выбора инерциальной системы отсчёта.
Дата последнего обновления: 2010-05-07