Относительный градиент

В этом файле при записи векторных операций будет использоваться тензорная нотация.

   Определение

    Пусть F(x) – функция точки, дифференцируемая в точке х₀, причём
          F(x₀) ≠ 0.                                                                                      (1)
    Определим вектор (#F)_i относительного градиента функции F(x) в точке х₀ по формуле
          (#F)_i│_x =x0 = F_, i (x₀) / F (x₀).                                                        (2)
    Если 
          F(x₀) > 0.
то относительный градиент функции совпадает с градиентом логарифма этой функции:
          (#F)_i = (ln F)_, i.                                                                              (3)

    Вклад функций-сомножителей в градиент произведения

    Если функция F представляет собой произведение N функций F_k, для каждой из которых в точке х₀ выполнено условие (1), то в этой точке, как нетрудно убедиться, относительный градиент F равен сумме относительных градиентов сомножителей F_k
                   N
       (#F)_i = Σ (#F_k) _i,                                                                           (4)
                 k = 1
а обычный градиент функции F представляется в виде 
                  N
       F_, i = F Σ (#F_k) _i.                                                                          (5)
                 k = 1

• Относительный вклад сомножителей в градиент произведения определяется их относительными градиентами.
• Сомножители, модуль относительного градиента которых значительно меньше, чем у других, могут быть приближённо вынесены из под знака производной.

   Градиент произведения вблизи корня одного из сомножителей

    Рассмотрим градиент произведения двух функций F₁(x) и F₂(x):
          (F₁ F₂)_, i = (F₁)_, i F₂ + F₁ (F₂)_, i.
    Если
          F₁(x₀) = 0,
то
          (F₁ F₂)_, i│_x =x0 = F₂(x₀) (F₁)_, i│_x =x0.
     При x → x₀ относительный градиент (#F₁) _i → ∞ и, следовательно, в окрестности точки x₀
          (F₁ F₂)_, i ≈ F₂ (F₁)_, i.

• В окрестности корня одного из двух сомножителей второй может быть приближённо вынесен из под знака градиента.

   Вклад компонент вектора скорости течения в градиент произведения

    Поскольку компоненты v_i(х) вектора скорости течения, в отличие от плотности ρ и температуры Т, могут обращаться в нуль и менять знак, при не очень низких плотностях и температурах в градиенте функции, представляющей собой произведение ρТ ^п v_i(х), где п – показатель степени порядка единицы, функция ρТ ^п может быть приближённо вынесена из под знака градиента.

Дата последнего обновления:  2009-08-19