Число Z и Лемма Z

 Список основных обозначений

k = 1.38 ∙ 10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана;
т – масса молекулы газа, кг;
R = k/m – газовая постоянная, Дж/(кг∙К);
Т – температура, К;
v – вектор скорости течения;
v – модуль вектора скорости течения, м∙с ^–1;
w – вектор скорости молекулы в лабораторной системе отсчёта
α = (8R /π)^½ – постоянный для данного газа коэффициент, м/(с∙К^½);(см. Таблицу 1)
ω – вектор тепловой скорости молекулы
‹ω› – среднее значение модуля вектора тепловой скорости, м/с;

  Определение числа Z

        Z ≡ v /‹ω› =  v α ^–1 T ^{– ½},      

   Лемма Z

      Если число Z удовлетворяет условию
          Z << 1,
то с вероятностью, близкой к достоверности, вектор тепловой скорости ω можно приближённо считать колинеарным вектору скорости w в лабораторной системе отсчёта.

   Доказательство  

  По определению  
       w = v + ω.               
  Пусть s – единичный вектор направления скорости w.
  То обстоятельство, что сумма векторов ω и v колинеарна вектору s, говорит о том, что ортогональные к s составляющие этих векторов
                                  ω_о =   ω – (ω·s) s ,  v_о = v – (v·s) s 
равны по абсолютной величине
                                    ω_о = v _о      
и противоположно направлены. Поскольку v _о ≤ v и по предположению леммы
                                    v << ‹ω›,                                                       
то
                                   ω_о << ‹ω›.                 (1)
    Из неравенства (1) следует, что в ситуации, имеющей вероятность, близкую к единице, когда
                         ω ≈ ‹ω› или  ω > ‹ω›,                            
имеет место неравенство
                         ω_о << ω,
а, значит, угол α между векторами w и ω удовлетворяет условию
                       sin α = ω_о / ω << 1.               (2)                                              
  Соотношение (2) и означает приближённую колинеарность векторов w и ω.

Дата последнего обновления:  2010-05-22