Формула для средней длины свободного пробега
В одной из первых работ по кинетической теории газов Максвеллом была получена формула для средней длины λ свободного пробега:
λ = (2½ пσ) – 1, (1)
где
п – числовая плотность (число молекул газа в единице объёма),
σ – эффективное сечение соударения (ЭСС) молекул.
Как показывает анализ процесса столкновения молекул, ЭСС является функцией от температуры газа Т и представляется формулой
σ(Т) = π rimp2 = π deq2 (1 + Т */Т), (2)
где
deq – равновесное расстояние между молекулами;
Т* = 2/3 Ет/ k – глубина потенциальной ямы, выраженная в температурных единицах;
Ет – глубина потенциальной ямы потенциала взаимодействия между молекулами, выраженная в единицах энергии;
k – постоянная Больцмана.
Если обозначить через
le = 2¼ π½ deq (3)
эффективный линейный размер молекулы, то с учётом (2) формула (1) представляется в виде
λ = le– 2 п – 1 Θ, (4)
где
Θ = Т / (Т + Т *).
Выражая числовую плотность п через удельный объём газа υ и массу молекулы т
п = (т υ)–1, (5)
можно формулу (4) преобразовать к виду, в котором она будет использована в дальнейшем:
λ = β υ Θ,
где
β = т le– 2 = 2– ½ π–1 т deq– 2 – постоянный для данного газа коэффициент.
Зависимость средней длины свободного пробега от температуры
Величина Θ принимает значения, удовлетворяющие условиям:
0 < Θ < 1,
причём при Т >> Т *
Θ ≈ 1,
а при Т << Т *
Θ ≈ Т / Т *. (6)
Из соотношения (6) отнюдь не следует, что длина свободного пробега λ стремится к нулю при Т → 0, т.к. удельный объём газа должен удовлетворять условию
υ ≥ υs(T),
где υs(T) – удельный объём насыщенного пара при температуре Т , причём
υs(T) → ∞ при Т → 0.
Отношение среднего расстояния между молекулами газа к средней длине свободного пробега
Среднее расстояние d между центрами молекул выражается через числовую плотность п с помощью равенства
d = п– 1/3. (7)
Исключив из (5) и (7) числовую плотность, получаем связь между параметрами λ и d
λ / le = (d / le)3 Θ. (8)
Из (5) и (7)-(8) следует, что
d/λ = (le/d)2/Θ = W,
где
W ≡ т1/3 ρ2/3/(βΘ).
Таблица 1. Оценочные значения параметров deq и β для некоторых газов
Вещество О2 N2 4He Н2
Масса молекулы т, кг 5.35∙10–26 4.68∙10–26 6.69∙10–27 3.35∙10–27
Критическая плотность ρс, кг/м3 436 313 69.64 30
Равновесное расстояние между молекулами deq, м 3.8∙10–10 4.06∙10–10 3.5∙10–10 3.68∙10–10
Коэффициент β, кг/м2 8.3∙10–8 6.4∙10–8 1.22∙10–8 0.56∙10–8
Таблица 2 (составлена на основании данных о Стандартной атмосфере).
Зависимость средней длины свободного пробега и среднего расстояния между молекулами воздуха для земной атмосферы
Высота над уровнем моря h, км | 0 | 100 | 200 | 300 |
Числовая плотность п, м–3 | 2.55·1025 | 1.8·1019 | 5·1015 | 3·1014 |
Длина свободного пробега λ, м | 1·10– 7 | 1·10–1 | 300 | 3·103 |
Среднее расстояние между молекулами d, м | 3·10–9 | 4·10–7 | 6·10–6 | 1·10–5 |
Отношение λ / d, безразмерн. | 30 | 2.5·105 | 5·107 | 3·108 |
На высоте h ≈ 250-500 км над уровнем моря начинается самый верхний слой атмосферы – экзосфера, в котором длина свободного пробега столь велика, что столкновениями между молекулами можно пренебречь. Движение молекул в экзосфере полностью определяется дальнодействующими силами, порождаемыми макрополями.
Дата последнего обновления: 2009-05-30